近似格的定义

局部紧群的近似格最早在 Yves Meyer 的开创性专著中被研究，随后被用于非周期序理论中以建模诸如 Pisot 数、准晶体或非周期铺砌等对象。Meyer 研究了欧氏空间中的近似格——现称为 Meyer 集。该理论的一个迷人之处在于 Meyer 集有大量自然且等价的定义可用。非交换群中近似格的研究近来受到更多关注。它们旨在作为局部紧群格（即有限余体积的离散子群）的推广，因此被粗略地定义为局部紧群的既是离散又具有有限余体积的近似子群。然而，在这一推广框架中，“有限余体积”的正确概念尚待解释。继 Björklund 与 Hartnick、Hrushovski 以及作者的工作之后，近期出现了若干定义。与欧氏框架形成鲜明对比的是，这些概念之间的关系鲜为人知。本文的主要目标是解决这一问题。我们建立了这些定义之间的清晰关系，并表明事实上这些定义并非全部等价。尽管如此，我们证明所提及的所有概念彼此相关，仅代表不同程度的普遍性。在本文证明的原创性结果中，我们推广了 Meyer 的一个基石定理并证明所有强近似格都是层状的；我们在近似格的不变包上构建了具有弱不变性的测度；我们利用拟模型证明任意 BH-近似格都包含于某个近似格中；我们证明即便是层状近似格也可能任意远离强近似格与模型集。