关于近正交格的几何

近正交格在 [4] 中被正式定义，其中亦讨论了它们在图像压缩中的应用。二维中“近正交”的思想可追溯至高斯的工作。本文关注 $\mathbb R^n$ 中良圆近正交格，并研究其几何与优化性质。具体而言，我们证明：对于维数 $n\geq 3$，良圆格空间上的球填充密度函数在近正交集上没有任何局部极大值，且仅有唯一一个局部极小值：在整数格 $\mathbb Z^n$ 处。进一步，我们证明近正交集在 $n \geq 3$ 时不能包含任何完美格，尽管它在每一维中都包含多个优态（甚至强优态）格。这意味着优态格虽总是填充密度函数的临界点，却未必是局部极大或极小，即便在良圆格中亦如此。我们还证明 $\mathbb R^n$ 中的（弱）近正交格所含极小向量不多于 $4n-2$ 个（任何更小的偶数均可能），并建立了这些格相干性的一些界。