利用随机演化椭球构造高维球体的格堆积

我们证明，在任意维度 $n$ 中，存在一个体积为 $c n^2$ 的中心对称椭球 ${\mathcal{E}} \subset {\mathbb{R}}^n$，除原点外不含 ${\mathbb{Z}}^n$ 的任何点，其中 $c > 0$ 是普适常数。等价地，在 ${\mathbb{R}}^n$ 中存在一个密度至少为 $cn^2 \cdot 2^{-n}$ 的格球堆积。先前已知的 ${\mathbb{R}}^n$ 中球堆积构造产生的密度至多为 $C n \log n \cdot 2^{-n}$。我们的证明利用了一个随机演化的椭球，其边界上积累了至少 $c n^2$ 个格点，而内部除原点外不含任何格点。