三个奇素因子情形的 Coven-Meyerowitz 铺砌条件

众所周知，若有限集 $A\subset\mathbb{Z}$ 通过平移铺砌整数，则平移集必为周期的，从而该铺砌等价于有限循环群的一个分解 $A\oplus B=\mathbb{Z}_M$。我们感兴趣于刻画所有具有此性质的有限集 $A\subset\mathbb{Z}$。Coven 和 Meyerowitz（1998）提出了条件 (T1)、(T2)，它们对 $A$ 铺砌是充分的，且在 $A$ 的基数至多有两个不同素因子时是必要的。他们还证明了 (T1) 对所有有限铺砌块都成立，与大小无关。目前未知 (T2) 是否必须对无 $|A|$ 素因子个数限制的的所有铺砌都成立。我们证明 Coven-Meyerowitz 铺砌条件 (T2) 对所有周期为 $M=(p_ip_jp_k)^2$ 的整数铺砌成立，其中 $p_i,p_j,p_k$ 为不同的奇素数。该证明还给出了所有此类铺砌的分类。