有限循环群的因子分解：Szabó 配对与完整铺砌结构

在有限循环群因子分解的研究中，一个经典问题是考察因子分解集合 A 和 B 在直接和分解 $A \oplus B = \mathbb{Z}_{M}$ 中的性质，其中 $|A| = |B| =\sqrt{M}$，且 $M=(pqr)^2$ 其中 p、q、r 为互异的素数。本文证明，若且仅若因子分解集合 A、B 构成 Szabó 配对时，A 或 B 不包含在 $\mathbb{Z}_{(pqr)^2}$ 的 proper 子群中。有限循环群的因子分解与 $\mathbb{Z}$ 中的铺砌集和谱集的性质密切相关。本文所考察的问题等价于最简单形式的铺砌问题，无法通过 Coven 和 Meyerowitz (J. Algebra 212: 161--174, 1999) 提供的方法化简为两素数情形。与此相反，可化简为两素数情形的铺砌构造早已为人所知。我们的结果给出了因子分解集合 A 和 B 的完整结构，从而给出了此类铺砌的完整结构。