由极大 Cohen-Macaulay 模张成的锥及其应用

本文旨在定义 Noether 局部整环 R 的 Cohen-Macaulay 锥概念，并展示其在 Hilbert-Kunz 函数理论中的应用。Kurano 在论文《Noether 局部环 Chow 群上定义的数值等价》（Invent. Math. (2004)）中已证明，在 R 满足温和条件的情况下，数值 Grothendieck 群是一个有限生成的无挠阿贝尔群。R 的 Cohen-Macaulay 锥是数值 Grothendieck 群中由极大 Cohen-Macaulay 模所代表的循环张成的锥。本文研究了 Cohen-Macaulay 锥的基本性质。作为应用，我们将构造多种多项式类型的 Hilbert-Kunz 函数示例。确切地说，对于任意给定的整数 $\epsilon_i$ = 0, -1 或 1（其中 d/2 < i < d，d = dim R），我们将构造一个 d 维 Cohen-Macaulay 局部环 R（特征为 p）及其极大准素理想 I，使得 R 的 Hilbert-Kunz 函数是关于$p^n$的 d 次多项式，且对于 d/2 < i < d，$(p^n)^i$项的系数是$\epsilon_i$与一个正有理数的乘积。此类环的存在性通过利用 Segre 积构造一个 Chow 群具有特定简单性且存在测试模的 Cohen-Macaulay 环得以证明。