距离-$r$ 支配集重构的复杂性

对于固定整数 $r \geq 1$，图 $G = (V, E)$ 的距离-$r$ 支配集（D$r$DS）是一个顶点子集 $D \subseteq V$，使得 $V$ 中每个顶点到 $D$ 中某成员的距离不超过 $r$。给定 $G$ 的两个 D$r$DS $D_s, D_t$，距离-$r$ 支配集重构（D$r$DSR）问题询问是否存在一个 D$r$DS 序列将 $D_s$ 变换为 $D_t$（或反之），使得每个中间成员由其前驱通过恰好一次应用给定的重构规则得到。对于 $r = 1$ 的该问题已在文献中被充分研究。我们考虑在两种著名重构规则下的 $r \geq 2$ 的 D$r$DSR：Token Jumping（$\mathsf{TJ}$，即用非成员替换当前 D$r$DS 的一个成员）和 Token Sliding（$\mathsf{TS}$，即用相邻的非成员替换当前 D$r$DS 的一个成员）。已知在 $\mathsf{TS}$ 和 $\mathsf{TJ}$ 任一规则下，该问题在分裂图上对 $r = 1$ 是 $\mathtt{PSPACE}$-完全的。我们证明对 $r \geq 2$，该问题属于 $\mathtt{P}$，从而得到一个有趣的计算复杂性二分。在此过程中，我们证明了当 $r = 2$ 时在分裂图上最短重构序列长度的一些非平凡界，这本身可能具有独立意义。此外，我们设计了树上 $\mathsf{TJ}$ 下的线性时间算法。在负面结果方面，我们证明对最大度数为三且带宽有界的平面图，D$r$DSR 对 $r \geq 1$ 是 $\mathtt{PSPACE}$-完全的，改进了已知结果的度数界。我们还证明已知的 $\mathsf{TS}$ 和 $\mathsf{TJ}$ 下 $r = 1$ 在二部图与弦图上 $\mathtt{PSPACE}$-完全的结果可推广到 $r \geq 2$。