关于距离-$d$ 独立集重配置的复杂性

对于固定的正整数 $d \geq 2$，图的距离-$d$ 独立集(D$d$IS)是指任意两个成员间距离至少为 $d$ 的顶点子集。设想在每个 D$d$IS 的成员上放置一个令牌。若通过一个令牌从某一顶点移动到其未占用的相邻顶点可从一个 D$d$IS 得到另一个，则这两个 D$d$IS 在令牌滑动($\mathsf{TS}$)下相邻。在令牌跳跃($\mathsf{TJ}$)下，目标顶点无需与原顶点相邻。距离-$d$ 独立集重配置(D$d$ISR)问题在 $\mathsf{TS}/\mathsf{TJ}$ 下询问是否存在相应的相邻 D$d$IS 序列将给定的一者转化为另一者。对于 $d = 2$ 的该问题，亦称独立集重配置问题，文献中已有充分研究，且已知其在若干图类上的计算复杂性。本文中，我们研究对于任意固定 $d \geq 3$，D$d$ISR 在不同图下基于 $\mathsf{TS}$ 和 $\mathsf{TJ}$ 的计算复杂性。在弦图上，我们证明 D$d$ISR 在 $\mathsf{TJ}$ 下当 $d$ 为偶数时属于 $\mathtt{P}$，当 $d$ 为奇数时 $\mathtt{PSPACE}$-完全。在分裂图上，存在一个有趣的复杂性二分：D$d$ISR 在 $\mathsf{TS}$ 下对于 $d = 2$ 是 $\mathtt{PSPACE}$-完全，而对于 $d=3$ 属于 $\mathtt{P}$；而在 $\mathsf{TJ}$ 下对于 $d = 2$ 属于 $\mathtt{P}$，对于 $d = 3$ 是 $\mathtt{PSPACE}$-完全。此外，某些在完美图、最大度为三且有界带宽的平面图上针对 $d = 2$ 的已知困难性结果可推广至 $d \geq 3$。