连通支配集重构的 parameterized 复杂性研究

在优化问题 $\mathcal{Q}$ 的重构版本中，输入为 $\mathcal{Q}$ 的一个实例以及两个可行解 $S$ 和 $T$。目标是判断是否存在从 $S$ 到 $T$ 的逐步变换，使得所有中间步骤也构成可行解。本文研究了 \textsc{Connected Dominating Set Reconfiguration} 问题（\textsc{CDS-R}）的 parameterized 复杂性。已有工作表明，\textsc{Dominating Set Reconfiguration} 问题（\textsc{DS-R}）以 $k$（重构序列中支配集的最大允许大小）为参数，在排除二部团 $K_{d,d}$ 作为子图的所有图（对某个常数 $d \geq 1$）上是固定参数可处理的。我们表明，额外的连通性约束使问题变得困难得多，即 \textsc{CDS-R} 以 $k+\ell$（支配集的最大允许大小加上重构序列的长度）为参数，在 $5$-退化图上已经是 \textsf{W}$[1]$-难的。从正面来看，我们表明以 $k$ 为参数的 \textsc{CDS-R} 是固定参数可处理的，并且事实上在平面图上存在一个多项式核。