随机图中哈密顿性与泛圈性的补全数

令 $\mu(G)$ 表示使 $G$ 变为哈密顿图所需添加的最少边数，令 $\hat{\mu}(G)$ 表示使 $G$ 变为泛圈图所需添加的最少边数。我们研究了在二项随机图背景下 $\mu (G),\hat{\mu}(G)$ 的分布。令 $d=d(n) := n\cdot p$，我们证明存在一个函数 $f:\mathbb{R}^+\to [0,1]$，其阶为 $f(d) = \frac{1}{2}de^{-d}+e^{-d}+O(d^6e^{-3d})$，使得若 $G\sim G(n,p)$ 且 $20 \le d(n) \le 0.4 \log n$，则高概率地有 $\mu (G)= (1+o(1))\cdot f(d)\cdot n$。令 $n_i(G)$ 表示 $G$ 中度为 $i$ 的顶点数。$\mu(G)$ 的一个平凡下界由表达式 $n_0(G) + \lceil \frac{1}{2}n_1(G) \rceil$ 给出。在随机图更稠密的机制中，我们证明若 $np-\frac{1}{3}\log n - 2\log \log n \to \infty$ 且 $G\sim G(n,p)$，则高概率地有 $\mu (G) = n_0(G) + \lceil \frac{1}{2}n_1(G) \rceil$。对于补全为泛圈性，我们证明若 $G\sim G(n,p)$ 且 $np\ge 20$，则高概率地有 $\hat{\mu} (G)=\mu (G)$。最后，我们提出一种多项式时间算法，使得若 $G\sim G(n,p)$ 且 $np\ge 20$，则高概率地该算法返回一个大小为 $\mu (G)$ 的边集，将其添加到 $G$ 中可得到一个泛圈（因此也是哈密顿）图。