具等价与正交关系的偏序系统的完全维数理论

我们为称为 espalier 的一大类结构建立维数理论，该结构由一个集合 $L$ 配备偏序 $\leq$、正交关系 $\perp$ 与等价关系 $\sim$ 并满足特定公理构成。 $L$ 的维数范围是 $(L,\oplus,0)$ 到部分交换幺半群 $S$ 的泛 $\sim$-不变同态，其中 $\oplus$ 表示 $L$ 中的正交和。espalier 的特例包括 (i) 完全布尔代数，(ii) 非奇异内射模的直接和项格，(iii) 完全、保交连续、有补、模格，以及 (iv) AW*-代数中的投影格。我们证明任意 espalier 的维数范围是形如 $C(\Omega_{I},Z_\gamma) \times C(\Omega_{II},R_\gamma) \times C(\Omega_{III},2_\gamma)$ 的连续函数交换幺半群的下区间，其中 $\gamma$ 为序数，$\Omega_{*}$ 为完全布尔空间，$Z_\gamma$、$R_\gamma$、$2_\gamma$ 分别表示区间 $\{\aleph_\xi \mid 0\le \xi\le \gamma\}$ 分别与非负整数集、非负实数集和 $\{0\}$ 的并集。反之，我们证明上述形式的幺半群的下区间均可表示为由前述情形 (i)--(iv) 中任一背景产生的 espalier 的维数范围。作为情形 (ii) 与 (iv) 的推论，我们获得了由环 $R$ 上有限生成投射模的同构类构成的幺半群 $V(R)$ 的完全描述（函数论与公理化两方面）。