Djokovic-Winkler 关系的补关系

Djokovi\'{c}-Winkler 关系 $\Theta$ 是定义在给定图边集上的一种二元关系，基于某些顶点的距离，并在图论中扮演重要角色。本文探讨相对未被充分研究的 $\Theta$ 的“自反补” $\overline\Theta$，其中对于边 $e$ 和 $f$，当且仅当 $e=f$ 或 $(e,f)\notin \Theta$ 时 $(e,f)\in \overline\Theta$。我们建立了 $\overline\Theta$ 与集合 $\Delta_{ef}$（包含 $e$ 和 $f$ 的顶点间距离）之间的关系，并阐明其传递闭包 $\overline\Theta^*$ 的复杂性。值得注意的是，我们证明 $\overline\Theta^*$ 仅在一类受限的完全多部图子类中呈现多个等价类。此外，我们将与 $\overline\Theta$ 重合的非平凡关系 $R$ 刻画为：其图表示为不连通的，且每个连通分量为完全图的（联）笛卡尔积。后者结果有些出人意料地暗示，确定 $\overline\Theta^*$ 并不需要关于顶点间距离的知识。而且，$\overline\Theta^*$ 恰有一个或三个等价类。