多项式时间内寻找平面图的所有凸割

凸性是已为 $\RR^n$ 子集和一般图子集定义的概念。图 $G=(V, E)$ 的凸割是一个 $2$-划分 $V_1 \dot{\cup} V_2=V$，使得 $V_1$ 和 $V_2$ 均为凸集，\ie $V_i$ 中顶点间的最短路径从不离开 $V_i$，$i \in \{1, 2\}$。寻找一般图的凸割是 $\mathcal{NP}$-难的。为了刻画凸割，我们采用了 Djokovic 关系，这是一种基于边端点间最短路径的、定义在图边上的自反对称关系。长期以来已知，若 $G$ 是二分图且 Djokovic 关系在 $G$ 上是传递的，\ie $G$ 是超立方体部分图 (partial cube)，则 $G$ 的凸割的割集正是 Djokovic 关系的等价类。特别地，$G$ 的每条边恰好包含在一个凸割的割集中。我们首先刻画了一类称为{\em良排列}的平面图。这些图不一定是超立方体部分图，但良排列图的每条边都包含在至少一个凸割的割集中。我们还提出了一种利用 Djokovic 关系在 $\bigO(|E|^3)$ 时间内计算（不一定是平面的）二分图所有凸割的算法。具体而言，一个割集是凸割的割集，当且仅当该割集中任意一对边均满足 Djokovic 关系。随后，我们利用边上的两个二元关系刻画了一般图 $H$ 的凸割割集：(i) $H$ 的细分图边上的 Djokovic 关系，其中 $H$ 的每条边被细分为恰好两条边；(ii) $H$ 本身边上的一个非 Djokovic 关系。最后，我们利用此次刻画提出了首个在多项式时间内寻找平面图所有凸割的算法。