关于 Gilbert 图及其补图的传递性

Gilbert 图 $\text{Gilbert}(q,n,d)$ 在图论和编码理论中自然产生，是定义在 $\mathbb{F}_q^n$ 上的正则图，其中两个顶点相邻当且仅当它们的汉明距离小于 $d$，并且该图是顶点传递的。我们对使得 $\text{Gilbert}(q,n,d)$ 是边传递或距离传递的所有参数 $(q,n,d)$ 进行了分类，并分别对其补图具有这些性质的参数进行了分类。我们证明了 $\text{Gilbert}(q,n,d)$ 是边传递的当且仅当它是距离传递的，并且这恰好发生在 $d=2$、$(q,d)=(2,3)$ 或 $(q,d)=(2,n)$ 时。对于补图，我们利用基于 Krawtchouk 多项式和汉明结合方案结构的谱方法，确定了所有产生边传递性或距离传递性的参数。与 Gilbert 图本身边传递和距离传递的参数集重合的情况相反，我们证明了对于其补图，产生距离传递性的参数集严格包含于产生边传递性的参数集。作为一个应用，我们在 Gilbert 图或其补图之一为边传递的所有情形下，计算了 Gilbert 图及其补图的 Lovász $\vartheta$ 函数的精确值。