Wenger 图的边-围长-正则性

设 $n\ge 1$ 为整数，$\mathbb{F}_q$ 为含 $q$ 个元素、特征为 $p$ 的有限域。本文证明了 Wenger 图 $W_n(q)$ 与线性化 Wenger 图 $L_m(q)$ 是边-围长-正则的 $(v,k,g,\lambda)$-图，并完全确定了图 $W_n(q)$ 与 $L_m(q)$ 的参数 $\lambda$。这里，边-围长-正则图 $egr(v,k,g,\lambda)$ 指阶为 $v$、围长为 $g$ 的 $k$-正则图，且满足任意一条边包含在 $\lambda$ 个不同的 $g$-圈中。作为直接推论，我们得到了图 $W_n(q)$ 的围长圈个数，以及广义 Tur\'an 数 $ex(n, C_{6}, \mathscr{C}_{5})$ 与 $ex(n, C_{8}, \mathscr{C}_{7})$ 的下界，其中 $C_k$ 为长度为 $k$ 的圈，$\mathscr{C}_k = \{C_3, C_4, \dots , C_k\}$。此外，当 $q$ 为奇数时，存在一族 $egr(2q^3,q,8,(q-1)^3(q-2))$-图，且图 $W_2(q)$ 的阶与极值的 $egr(v,q,8,(q-1)^3(q-2))$-图在 $q$ 为奇数时具有相同的渐近阶。