有限射影空间的色指数

PG$(n,q)$（即 GF$(q)$ 上的 $n$ 维射影空间）的线染色是指为 PG$(n,q)$ 的所有直线分配颜色，使得任意两条同色直线不相交。PG$(n,q)$ 的色指数记为 $\chi'(PG(n,q))$，是指存在 PG$(n,q)$ 染色所需的最少颜色数。本文将确定 PG$(n,q)$ 色指数的问题转化为考察具有某些性质的 PG$(3,q)$ 与 PG$(4,q)$ 的存在性问题。特别地，我们证明了对于任意奇数 $n$ 以及 $q\in\{3,4,8,16\}$，有 $\chi'(PG(n,q))=(q^n-1)/(q-1)$，这意味着对于任意奇数 $n$ 以及 $q\in\{3,4,8,16\}$，PG$(n,q)$ 存在平行性。