Caratheodory-Fejer-Pisarenko 分解及其多变量对应

当一个具有 Toeplitz 结构的协方差矩阵被写为一个奇异矩阵与一个正标量乘以单位矩阵之和时，该奇异加项对应于时间序列的纯确定性分量的协方差，而单位矩阵对应于白噪声——这就是 Carathéodory-Fejér-Pisarenko (CFP) 分解。在本文中，我们研究块-Toeplitz 矩阵以及具有有限维线性系统的状态协方差结构（包含块-Toeplitz 矩阵）的矩阵的多变量类比。我们刻画了仅容许确定性输入功率谱的状态协方差。我们证明，按照输入的“确定性分量 + 白噪声”假设所做的状态协方差的多变量分解一般并不存在，并通过分解奇异部分的贡献发展了对应于奇异协方差的谱公式。我们考虑将 CFP 分解中的“标量乘以单位矩阵”替换为作为加项可容许的、具有最大迹的协方差。该加项可以是对应于白噪声的（块）对角矩阵，或具有对应于滑动平均分量的“短程相关结构”。该迹表示可由输入端具有上述结构的过程（例如噪声）所解释的最大方差/能量，并且最优解可通过凸优化计算。按照时域相关范围对协方差与谱进行的分解，是 CFP 准则的一种替代方案，具有潜在的重要实际意义。