箭图表示的容量与 Brascamp-Lieb 常数

设 $Q$ 为二部箭图，$V$ 为 $Q$ 的一个实表示，$\sigma$ 为 $Q$ 的一个与 $V$ 的维数向量正交的整权。受箭图不变量理论的启发，我们引入与 $(V,\sigma)$ 相关的 Brascamp-Lieb 算子 $T_{V,\sigma}$ 并研究其容量，记为 $\mathbf{D}_Q(V, \sigma)$。当 $Q$ 为 $m$-子空间箭图时，箭图数据的容量与分析中 $m$-多重线性 Brascamp-Lieb 不等式出现的 Brascamp-Lieb 常数密切相关。我们证明 $\mathbf{D}_Q(V, \sigma)$ 的正性等价于 $V$ 的 $\sigma$-半稳定性。我们还给出了 $\mathbf{D}_Q(V, \sigma)$ 为正时的一个特征标公式。我们的主要工具是 Kempf-Ness 关于不变量理论中闭轨道的著名结果的箭图版本。该结果引导我们考虑某些携带与主要研究对象相关信息的实代数簇。它使我们能用由 $\sigma$ 诱导的特征标及所涉簇的采样点表达箭图数据的容量。此外，我们利用该特征标公式证明箭图数据容量的一个分解。我们还证明 $(V, \sigma)$ 的高斯极值元的存在性等价于 $V$ 为 $\sigma$-多稳定的，且高斯极值元的唯一性蕴含 $V$ 为 $\sigma$-稳定的。最后，我们解释如何利用与 $(V,\sigma)$ 相关的代数簇来寻找可高斯极值化数据 $(V, \sigma)$ 的高斯极值元。