从拜占庭与合谋数据库进行私有信息检索的容量

我们考虑从 $N$ 个复制数据库中进行单轮私有信息检索（PIR）的问题。我们考虑 $B$ 个数据库已过时（未同步），甚至更糟地具有对抗性（拜占庭），因此可能返回错误答案的情况。在带拜占庭数据库的 PIR 问题（BPIR）中，用户希望从 $M$ 条消息的集合中检索特定消息，且无论拜占庭数据库执行何种操作均要求零误差。本文考虑 $T$-隐私约束，其中任意 $T$ 个数据库可以合谋并交换用户提交的查询。我们推导了该问题的信息论容量，即在 $T$-隐私约束下，每下载一个数据符号所能私有检索的最大正确符号数。我们确定，若 $2B+T < N$，则精确的 BPIR 容量为 $C=\frac{N-2B}{N}\cdot\frac{1-\frac{T}{N-2B}}{1-(\frac{T}{N-2B})^M}$。该容量表达式表明，拜占庭数据库对检索速率的影响等效于从系统中移除 $2B$ 个数据库，并带有惩罚因子 $\frac{N-2B}{N}$，这意味着即使 PIR 所需的有效数据库数为 $N-2B$，用户仍需访问全部 $N$ 个数据库。结果表明，对于未同步 PIR 问题，若用户对消息未同步的比例没有任何先验知识，则单轮容量与 BPIR 容量相同。我们的可达方案将鲁棒 PIR（RPIR）问题的最优可达方案进行了扩展，以纠正由拜占庭数据库引入的错误，而非 RPIR 问题中的擦除。我们的逆定理证明使用了网络编码问题中针对对抗节点的割集界的思想。