约化完全-空图 $X-$联结的自同构群

设 $X$ 是一个简单图。一组完全图或空图 $\{X_x \}_{x \in V(X)}$ 的 $X-$联结 $\Gamma$ 是一个简单图，其顶点集和边集如下：\n\begin{eqnarray*} V(\Gamma) &=& \{(x,y) \ | \ x \in V(X) \ \& \ y \in V(X_x)\},\\ E(\Gamma) &=& \{(x,y)(x^\prime,y^\prime) \ | \ xx^\prime \in E(X) \ or \ else \ x = x^\prime \ \& \ yy^\prime \in E(X_x)\}. \end{eqnarray*}\n若对于顶点 $x, y \in V(X)$，$x \ne y$，$N_X(x) \setminus \{ y\} = N_X(y) \setminus \{ x\}$ 蕴含 $(i)$ 若 $xy \not\in E(X)$ 则图 $X_x$ 或 $X_y$ 非空；$(ii)$ 若 $xy \in E(X)$ 则 $X_x$ 或 $X_y$ 不是完全图，则称 $X-$联结图 $\Gamma$ 是还原的。本文旨在探索图的 $X-$联结的图论性质如何影响其自同构群。在其他结果中，我们计算了还原完全-空图 $X$-联结的自同构群。