表示论在有向强正则图中的应用

有向强正则图（DSRG）的概念由 Duval 于 1988 年提出 \cite{A}。本文利用有限群的表示论来研究有向强正则 Cayley 图。我们首先证明，如果 $S$ 是 $G$ 的某些共轭类的并集，则 Cayley 图 $\mathcal{C}(G,S)$ 不是有向强正则图。这推广了 Leif K. J{\o}rgensen \cite{J1} 关于阿贝尔群的早期结果。其次，通过使用诱导表示，我们考察了 Cayley 图 $\mathcal{C}(N\rtimes_\theta H, N_1\times H_1)$，其中 $N_1\subseteq N$ 且 $H_1\subseteq H$，确定了其特征多项式和极小多项式。基于此结果，我们推广了 Art M. Duval 和 Dmitri Iourinski 在 \cite{D} 中的半直积方法，并得到了一族更大的有向强正则图。最后，我们在二面体群上构造了一些有向强正则 Cayley 图，这部分推广了 Mikhail Klin、Akihiro Munemasa、Mikhail Muzychuk 和 Paul Hermann Zieschang 在 \cite{K1} 中的早期结果。通过使用特征标理论，我们还给出了满足 $X\cap X^{(-1)}=\emptyset$ 的有向强正则 Cayley 图 $\mathcal{C}(D_n,X\cup Xa)$ 的刻画。