数域的 $(\alpha, \beta)-$分歧不变量

设 $L$ 为一个数域。对于给定的素数 $p$，我们定义具有一些有趣算术性质的整数 $\alpha_{p}^{L}$ 和 $\beta_{p}^{L}$。例如，只要 $p$ 在 $L$ 中不分歧，$\beta_{p}^{L}$ 就等于 $1$；只要 $p$ 在 $L$ 中野分歧，$\alpha_{p}^{L}$ 就能被 $p$ 整除。上述性质虽然有趣，但很容易从定义得出；然而，这些不变量一个更有趣的应用是，它们完全刻画了 $L$ 的 Dedekind zeta 函数。此外，如果对于所有 $p$，$\alpha_{p}^{L}$ 的模 $p$ 剩余类都不为零，那么这些剩余类决定了积分迹的亏格。