Akiyama均值-中位数映射具有无界过渡时间与不连续极限

公开的猜想指出：对每个 $x\in[0,1]$，以初值 $\left(x_1,x_2,x_3\right)=(0,x,1)$ 的均值-中位数递推 $$x_{n+1}=(n+1)\cdot\mathrm{median}\left(x_1,\ldots,x_{n}\right)-\left(x_1+\cdots+x_n\right),\quad n\geqslant 3,$$ 的轨道 $\left(x_n\right)_{n=1}^\infty$ 最终为常数，且其（关于 $x$ 的）过渡时间函数与极限函数分别无界且连续。本文中我们证明，对于Akiyama首先提出的稍作修改的递推 $$x_{n+1}=n\cdot\mathrm{median}\left(x_1,\ldots,x_{n}\right)-\left(x_1+\cdots+x_n\right),\quad n\geqslant 3,$$ 其过渡时间函数无界但极限函数不连续。