$\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell)$ 中矩阵的 1-特征子空间

固定某个素数 $\ell$，并考虑 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell)$ 或 $\operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}_\ell)$ 的 Cartan 子群的正规化子中的一个开子群 $G$。$G$ 的元素作用于 $(\mathbb{Z}/\ell^n \mathbb{Z})^2$（对每个 $n\geqslant 1$），从而也作用于直接极限，我们将不动点群称为 1-特征子空间（1-eigenspace）。我们通过考虑 1-特征子空间可能的群结构对 $G$ 进行划分，并展示如何以有限步骤计算划分中所有集合的 Haar 测度。这些结果适用于定义在数域上的所有椭圆曲线，其中我们考虑 $\ell$-进表示的图像以及 Galois 作用对 $\ell$ 幂次阶挠点的作用。