三元二次型、模方程与某些正性猜想

我们证明了拉马努金的许多 3 次模方程可以用整系数三元二次型来解释。通过这种方式，我们证明了对于任意 n ∈ N，|{n = x(x+1)/2 + y^2 + z^2 : x,y,z ∈ Z}| ≥ |{n = x(x+1)/2 + 3y^2 + 3z^2: x,y,z ∈ Z}|，这仅是此类众多类似正性结果中的一个。特别地，我们证明了 H. Yesilyurt 和第一作者最近的猜想，即对于任意 n ∈ N，|{n = x(x+1)/2 + y^2 + z^2 : x,y,z ∈ Z}| ≥ |{n = x(x+1)/2 + 7y^2 + 7z^2: x,y,z ∈ Z}|。我们通过将某些判别式为 144、400、784、3600 的三元型的恒等式转化为适当的 eta 商的恒等式，证明了这些恒等式。在此过程中，我们发现并证明了一些新的 5 次和 7 次模方程。对于任意无平方因子的奇数整数 S，其素因子分解为 p_1...p_r，我们将 S-亏格定义为 2^r 个特殊选择的三元二次型亏格的并集，所有这些亏格的判别式均为 16 S^2。S-亏格的概念在我们的研究过程中自然产生。它蕴含了一个从判别式为 -8 S 的二元二次型亏格到判别式为 16 S^2 的三元二次型亏格的有趣单射。