Kac-Moody 代数的张量分解与 Spin 构造

本文讨论了当李代数的表示限制到子代数时发生的“分解现象”，其结果分解为子代数的较小表示的张量积。我们分析了可对称化 Kac-Moody 代数（包括有限维半单李代数）中的这一现象。我们给出了可对称化 Kac-Moody 代数嵌入到另一个代数的一般嵌入的一些分解结果，并利用 Spin 构造为此类现象提供了代数解释。我们还给出了这些结果在半单有限维李代数中的一些应用。我们将 Spin 函子的概念从有限维扩展到可对称化 Kac-Moody 代数，这需要非常精细的处理。我们引入了一类正交 $\g$-表示，令人惊讶的是，对于此类表示，Spin 函子给出了 Bernstein-Gelfand-Gelfand 范畴 $\O$ 中的 $\g$-表示。此外，对于可积表示，$\Spin$ 产生一个可积表示。我们给出了上述范畴中 Spin 表示的特征标公式，并推导了有限维半单李代数嵌入到其无扭仿射李代数的分解结果。最后，我们讨论了 $\Spin$ 为不可约的那些表示的分类。