具有完全退化Kontsevich-Zorich谱的Teichmüller圆盘

我们将Eskin-Kontsevich-Zorich和Forni-Matheus-Zorich提出的关于完全退化Kontsevich-Zorich谱的$\text{SL}_2(\mathbb{R})$-不变遍历概率测度分类的问题归结为Möller的一个猜想。设$\mathcal{D}_g (1)$为阿贝尔微分模空间$\mathcal{M}_g$的子集，其元素具有秩一的周期矩阵导数。存在一个具有完全退化Kontsevich-Zorich谱（即$\lambda_1 = 1 > \lambda_2 = \cdots = \lambda_g = 0$）的$\text{SL}_2(\mathbb{R})$-不变遍历概率测度$\nu$，当且仅当$\nu$的支撑包含在$\mathcal{D}_g (1)$中。我们通过研究包含在$\mathcal{D}_g (1)$中的Teichmüller圆盘来探讨这个问题。我们证明，如果$(X,\omega)$在$\mathcal{D}_g (1)$中生成一个Teichmüller圆盘，则$(X,\omega)$是完全周期的。此外，我们证明在$g = 2$时$\mathcal{D}_g (1)$中没有Teichmüller圆盘，而在$g = 3, 4$时已知的两个Teichmüller圆盘例子是这些亏格中仅有的两个。最后，我们证明如果不存在亏格五的Veech曲面在$\mathcal{D}_5(1)$中生成Teichmüller圆盘，则对于$g = 5,6$，$\mathcal{D}_g (1)$中没有Teichmüller圆盘。