不确定条件下 PDE 约束最优控制的泰勒近似与方差缩减
最优化与控制
2019-03-27 v3
摘要
本工作中，我们发展了一个可扩展的计算框架，用于求解高维不确定性下的 PDE 约束最优控制。具体地，我们考虑控制目标的均值-方差形式，并采用关于不确定参数的泰勒展开，或直接近似控制目标，或作为控制变量用于方差缩减。泰勒近似的均值与方差表达式解析已知，尽管其求值需要高效计算控制目标(预处理后)海森矩阵的迹。我们提议通过求解广义特征值问题来估计该迹，使用随机化算法，仅需海森矩阵在少量随机方向上的作用。于是，计算工作量不依赖于不确定参数的标称维数，而仅依赖于有效维数，从而确保对高维问题的可扩展性。此外，为提高泰勒近似对控制目标均值与方差的估计精度，我们将其用作方差缩减的控制变量，与朴素蒙特卡洛方法相比带来可观的计算节省(数个数量级)。我们针对两个具有高维不确定参数的例子展示了所提计算方法的准确性、效率与可扩展性：由椭圆 PDE 建模的多孔介质中地下流，以及由雷诺平均 Navier--Stokes 方程与刻画模型不确定性的非线性对流-扩散方程耦合建模的湍流射流。特别地，对后一个更具挑战性的例子，我们展示了算法在由不确定参数场离散化得到的一百万参数下的可扩展性。
引用
@article{arxiv.1804.04301,
title = {Taylor approximation and variance reduction for PDE-constrained optimal control under uncertainty},
author = {Peng Chen and Umberto Villa and Omar Ghattas},
journal= {arXiv preprint arXiv:1804.04301},
year = {2019}
}