高斯混合泰勒近似用于高斯随机场输入约束PDE的风险度量

本文考虑使用泰勒近似计算由具有高斯随机场参数的偏微分方程（PDE）所支配的兴趣量的风险度量。虽然高效，但泰勒近似仅在展开点附近有效，因此当输入参数的方差较大时，精度可能会下降。为应对这一挑战，我们通过在高斯参数空间的主导方向上降低方差的高斯混合来近似底层的高斯测度。在每个高斯混合分量的均值处构建泰勒近似，然后将这些近似组合以逼近风险度量。该公式在无限维高斯随机参数的框架下给出，涵盖均值、方差和条件风险价值（CVaR）等风险度量。我们还详细分析了来自两个来源的近似误差：高斯混合近似和泰勒近似。数值实验针对具有随机扩散系数场的半线性对流-扩散-反应方程以及具有随机波速场的亥姆霍兹方程进行。对于这些例子，所提出的近似策略仅需 $\mathcal{O}(10)$ 次状态PDE求解即可在估计CVaR时实现低于1%的相对误差，这与使用 $\mathcal{O}(10^4)$ 个样本的标准蒙特卡洛估计相当，从而显著降低了计算成本。因此，所提出的方法可以在有限计算预算下快速且准确地估计风险度量。