含不确定参数偏微分方程最优控制的稀疏解：线性情形

我们研究由具有不确定系数的偏微分方程控制的最优控制问题的稀疏解。我们提出两种表述：一种是解为优化均值目标的确定性控制，另一种旨在得到具有相同稀疏结构的随机控制。在两种表述中，控制不为零的区域可解释为布置控制设备的最优位置。本文我们聚焦于具有线性进入的不确定参数的线性偏微分方程。在这些假设下，确定性表述化简为具有已知结构的问题，因此我们主要关注随机控制表述。此处，通过目标函数中引入逐点平方控制的均值的$L^1$-范数来实现共享稀疏性。我们使用仅定义于物理空间上的范数重加权函数重新表述该问题，从而有助于避免用样本或求积近似随机空间。我们证明，应用于范数重加权表述的不动点算法导出了广为研究的迭代重加权最小二乘(IRLS)算法的变体，并提出了一种新颖的预条件牛顿-共轭梯度法来加速IRLS算法。我们将算法与低秩算子近似相结合，并给出了截断误差估计。我们仔细考察了所得算法的计算复杂度。通过由Laplace和Helmholtz方程控制的最优控制问题，对最优控制的稀疏结构及求解算法性能进行了数值研究。在这些实验中，牛顿变体明显优于IRLS方法。