$K(\pi,1)$-叶状结构的切向 LS-范畴

$K(\pi,1)$-叶状结构是指所有叶子的通用覆盖都是可缩的（因此所有叶子都是某个 $\pi$ 的 $K(\pi,1)$ 空间）。在论文的第一部分，我们证明对于流形 $M$ 上的 $K(\pi,1)$-叶状结构 $\mathcal{F}$，其切向 Lusternik--Schnirelmann 范畴 $\operatorname{cat}\mathcal{F}$ 的下界由 $t-\operatorname{codim}\mathcal{F}$ 给出，其中 $t$ 满足对于某个系数群 $A$，$H_t(M;A)\neq 0$。由于对于任何 $C^2$ 类叶状结构 $\mathcal{F}$，根据我们的 [Topology 42 (2003) 603-627] 中的定理 5.2，有 $\operatorname{cat}\mathcal{F}\leq \dim\mathcal{F}$，这意味着在闭流形上，对于 $C^2$ 类 $K(\pi,1)$-叶状结构，有 $\operatorname{cat}\mathcal{F}=\dim\mathcal{F}$。对于开流形上的 $K(\pi,1)$-叶状结构，上述估计远非最优，因此人们可能希望找到 $\operatorname{cat}\mathcal{F}$ 的其他同调下界。在第二部分，我们看到叶状上同调无法做到这一点。因为，我们证明了一个 $p$ 维正余维叶状结构的第 $p$ 叶状上同调群是无限维向量空间，如果该叶状结构是通过从某个流形的叶状结构中移除一个适当的闭集（例如一个点）而得到的。但存在这类 $K(\pi,1)$-叶状结构的简单例子，其中 $\operatorname{cat}\mathcal{F}<\dim\mathcal{F}$。开流形上其他更有趣的 $K(\pi,1)$-叶状结构例子由透镜空间上的有限穿孔 Reeb 叶状结构提供，我们计算了它们的切向范畴。在最后一部分，我们证明闭流形上切向范畴至多为 1 的 $C^1$ 类叶状结构是局部平凡的同伦球面丛。因此，在闭流形上的二维 $C^2$ 类叶状结构中，唯一切向范畴仍然未知的是那些不允许截面的二维球面丛。