$SU(3)$ ${\cal N}=2$ SYM 中的 $T$、$Q$ 与周期

我们考虑由纯 ${\cal N}=2$ SYM（规范群为 $SU(3)$）在 $\Omega$-背景的 Nekrasov-Shatashvili 极限下形变 Seiberg-Witten 微分导出的三阶微分方程。我们证明这正是普通微分方程/可积模型(ODI/IM)对应中中心电荷 $c=98$ 的 $2d$ $A_2$ Toda CFT 所出现的同一微分方程。我们导出相应的 $QQ$ 及相关的 $TQ$ 函数关系，并建立 $Q$ 与 $T$ 函数在小瞬子参数 $q \rightarrow 0$ 处的渐近行为。此外，对该微分方程 Floquet 单值矩阵的数值积分可对任意由矢量多重态标量 VEV $\langle \textbf{tr}\,\phi^2\rangle$ 和 $\langle \textbf{tr}\,\phi^3\rangle$ 参数化的真空模空间点给出 $A$-周期 $a_{1,2,3}$ 的求值，即便对远超瞬子计算可及的大 $q$ 值亦如此。小 $q$ 处的数值结果与瞬子计算高度吻合。我们猜想 Baxter 的 $T$-函数与 $A$-周期 $a_{1,2,3}$ 之间存在极简关系，此为 Alexei Zamolodchikov 关于 Mathieu 方程猜想的推广。