交截多项式与多项式 Szemerédi 定理

设 $P=\{p_{1},\ld,p_{r}\}\subset\Q[n_{1},\ld,n_{m}]$ 为一族满足 $p_{i}(\Z^{m})\sle\Z$ ($i=1,\ld,r$) 的多项式。若对于任何满足 $d^{*}(E)=\limsup_{N-M\ras\infty}\frac{|E\cap[M,N-1]|}{N-M}>0$ 的集合 $E\sle\Z$，均存在无穷多个 $n\in\Z^{m}$ 使得 $E$ 包含形如 \hbox{$\{a,a+p_{1}(n),\ld,a+p_{r}(n)\}$} 的多项式 progression，则称该族 $P$ 具有 {\it PSZ 性质}。我们证明：多项式族 $P=\{p_{1},\ld,p_{r}\}$ 具有 PSZ 性质，当且仅当多项式 $p_{1},\ld,p_{r}$ 是 {\it 联合交截的}，即对于任意 $k\in\N$，存在 $n\in\Z^{m}$ 使得整数 $p_{1}(n),\ld,p_{r}(n)$ 均能被 $k$ 整除。为获得此结果，我们基于多项式多重回归现象的关键在于由幂零流形上的平移所定义的动力系统这一事实，给出了多项式 Szemer\'{e}di 定理的一个新的遍历论证明。作为推论，我们还得到了多项式 van der Waerden 定理的如下推广：若 $p_{1},\ld,p_{r}\in\Q[n]$ 是联合交截的整系数多项式，则对于 $\Z$ 的任意有限划分 $\Z=\bigcup_{i=1}^{k}E_{i}$，存在 $i\in\{1,\ld,k\}$ 以及 $a,n\in E_{i}$，使得 $\{a,a+p_{1}(n),\ld,a+p_{r}(n)\}\sln E_{i}$。