Synge 世界函数与量子时空

我们所有刻画空间与时间的观测都以非局域的双张量对象表达，例如事件间的测地间隔与两点（格林）函数。在本报告中，我强调以此类非局域对象刻画时空几何的重要性，尤其聚焦于两个起基础作用的重要双张量——Synge 世界函数与 van Vleck 行列式。我将首先讨论这些双张量如何帮助捕获时空几何信息，然后描述它们在刻画具有时空间隔下界（记为 $\ell_0$）的量子时空中扮演的角色。以洛伦兹协变方式引入此类长度尺度，需要用上述双张量描述时空几何，并自然地将基于度规张量 $g_{ab}(x)$ 的传统描述替换为基于非局域双张量 $q_{ab}(x, y)$ 的描述。$q_{ab}(x, y)$ 的非解析结构使得关于 $\ell_0$ 的微扰展开失去意义，并且通常在极限 $\ell_0 \to 0$ 时留下非平凡的“遗迹”。我给出一些该遗迹项显现的结果；具体地，我将讨论其如何：(i) 提示一种不同于基于 Einstein-Hilbert 拉格朗日的引力动力学描述，(ii) 意味着小尺度下维度约化为 $2$，(iii) 与宇宙常数本身作为时空小尺度结构的非局域残留这一概念相连，(iv) 有助于解决时空奇点问题。最后我将讨论这些思想对量子引力的影响。