时空的小尺度结构：范弗莱克行列式与等测地曲面

最近有论点认为，如果时空 $\mathcal M$ 在小尺度上具有非平凡结构，对其恰当的半经典描述应基于非局部双张量而非诸如度规 $g_{ab}$ 之类的局部张量。此背景下两个最相关的双张量是Synge世界函数 $\Omega(p,p_0)$ 和范弗莱克行列式(VVD) $\Delta(p,p_0)$，因为它们编码了时空的度规性质以及测地线的(散)聚焦行为。它们也刻画了d'Alembertian $_{p_0} \square_p$ 两点函数的主导短距离行为。我们首先讨论在事件 $p_0$ 的测地凸邻域中由 $\Omega(p,p_0)=constant$ 定义的等测地曲面 $\Sigma_{G,p_0}$ 的内蕴与外延几何，并强调将VVD与这些曲面的几何相联系的一些基本恒等式。作为旁注，我们也评论 $\Sigma_{G,p_0}$ 对Einstein-Hilbert (EH) 作用量表面项的贡献，并表明其可写为 $\square \ln \Delta$ 的体积分。随后，我们基于一些近期发展的思想，利用 $\Omega$ 和 $\Delta$ 研究存在洛伦兹不变短距离截断 $\ell_0$ 时的时空小尺度结构。我们推导出一个自然给出有下界测地间隔的2阶双张量 $q_{ab}$，并基于(a) $\Sigma_{G,p_0}$ 的几何、(b)与 $q_{ab}$ 关联的非局部d'Alembertian的结构、以及(c) VVD的性质，给出时空短距离结构的一般且数学严格的分析。特别地，我们证明 $q_{ab}$ 的Ricci双标量完全由 $\Sigma_{G,p_0}$、潮汐张量以及范弗莱克行列式的前两阶导数确定，并具有由(常数) $R_{ab} q^a q^b$(见正文)给出的非平凡“经典”极限。