$Z_2$ 上的同步及带约束的多重符号网络中的社区发现

从成对比率的噪声测量中寻找群元素也被称为群同步问题，最初是在平面旋转群 SO(2) 的背景下引入的，其有用性最近在工程和结构生物学中得到了证明。在此，我们专注于 $\mathbb{Z}_2$ 上的同步，并考虑在节点间的相互作用由相似性的符号（可能加权）度量描述，且多重网络自然划分为两个社区时，识别多重网络中社区的问题。当拥有额外信息表明某些节点子集代表相同的未知群元素时，我们考虑并比较了几种基于谱、半定规划 (SDP) 和消息传递的算法。换言之，此类子集内的所有节点代表相同的未知群元素，且我们拥有属于不同非重叠子集的节点对之间的噪声成对测量值。继最近对 SO(2) 同步特征向量方法的分析之后，我们利用随机矩阵论文献中的结果，分析了当成对测量的基础图为 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 随机图时，$\mathbb{Z}_2$ 同步特征向量方法对噪声的鲁棒性。我们还提出了一种消息传递同步算法，该算法仅针对某些类别的图和噪声模型优于现有的特征向量同步算法，并具有纳入其他谱或基于 SDP 的方法不易容纳的约束的灵活性。我们将我们的方法应用于几个合成模型以及美国国会随时间变化的点名投票模式的真实数据集，以识别现有的两个社区，即民主党和共和党。