基于洛伦兹几何的辛4-流形

我们观察到，在四维情形下，辛形式可通过洛伦兹几何得到；特别地，零向量场可产生恰当辛形式。零向量场处处非零却与自身正交，这对该构造至关重要。具体而言，我们证明在洛伦兹4-流形$(M,g)$上，若${\boldsymbol k}$是一个完备零向量场，其测地流满足$\text{Ric}({\boldsymbol k},{\boldsymbol k}) > 0$，且若$f$是$M$上任意满足${\boldsymbol k}(f)$处处非零的光滑函数，则$dg(e^f{\boldsymbol k},\cdot)$是一个辛形式，且${\boldsymbol k}/{\boldsymbol k}(f)$是一个刘维尔向量场；任何与${\boldsymbol k}$相切的零曲面于是是一个拉格朗日子流形。即使不满足里奇曲率条件，仍可利用${\boldsymbol k}$的附加信息构造此类辛形式；我们给出一个例子，其中${\boldsymbol k}$是完备刘维尔向量场，位于最大扩展的“快速旋转”Kerr时空上。