态的对称约化 I

我们发展了关于配备泊松括号与交换李代数 $g$ 的哈密顿作用的（可能非交换的）*-代数上态的对称约化的一般理论。本文倡导的关键思想是，*-代数 $A$ 上正性的“正确”概念不一定是代数意义上的正性（即正元为 Hermitian 平方之和 $a^*a$，其中 $a \in A$），而可以是依赖于具体例子的更一般的正性，例如函数 *-代数上的逐点正性或作为算符表示中的正性。因此 $A$ 上态（归一化正 Hermitian 线性泛函）的概念依赖于 $A$ 上正性的这一选择，而约化代数 $A_{red}$ 上的正性概念应使得 $A_{red}$ 上的态可作为 $A$ 上某些态的约化而得到。我们详细讨论三个例子：泊松流形 $M$ 上光滑函数 *-代数的约化、关于平移对称的 Weyl 代数的约化，以及关于 $U(1)$ 作用的多项式代数的约化。