QED$_3$ 中单极子凝聚导致的对称性破缺

三维 QED 中包含一个无质量、电荷为 1 的 Dirac 费米子双重 $SU(2)_f$ 的模型（且不存在 Chern-Simons 项），具有作用于规范不变局部算子（包括带有 $U(1)_m$ 电荷的单极子算子）的 $U(2) = (SU(2)_f \times U(1)_m)/\mathbb{Z}_2$ 对称性。我们确立了该理论在红外范围内仅有两种可能情形：要么流向保持 $U(2)$ 对称性的 CFT（这一情形受到 conformal bootstrap 边界的强约束）；要么通过单极子算子（为 $U(2)$ 双重）最小 $U(1)_m$ 电荷的单极子凝聚而自发破缺 $U(2) \to U(1)$。这导致由描述三个 Nambu-Goldstone 玻色子的 sigma 模型，其目标是对称性为 $U(2)$ 的压扁三维球 $S^3$。我们进一步指出，常规的 $SU(2)_f$ 三重序参量 $i \bar \psi \vec \sigma \, \psi$ 也会得到 vev，且恰好与单极子 vev 对齐，使得三重序参量参数化 $S^3$ Hopf 丛的 $\mathbb{CP}^1$ 基，而单极子提供 $S^1$ 纤维。我们也回顾了此情形为何与 Vafa-Witten 定理相容。我们通过分析费米子三重质量 $\vec m$ 的相图来获得这些结果：我们证明对于所有 $\vec m \neq 0$ 都存在仅含弱耦合光子的库仑相（源于与 $\vec m$ 通过 Hopf 图对齐的单极子 vev）。随后我们论证取 $\vec m \to 0$ 导致上述对称性破缺情形。整个过程中，我们对异常匹配作出详细说明，这导致 $S^3$ sigma 模型中出现 $\theta=\pi$ 项。在一种表述中，可理解为对 suitably gauged 版本的 $\mathbb{CP}^1$ sigma 模型中的 Hopf 项。