三次斐波那契恒等式综述——当长方体承载重量

本文旨在对三次斐波那契恒等式进行全面综述，力求尽可能多地揭示它们。起初，我们对这一看似冷门的问题进行细致搜索，其理由不仅是出于数学好奇，也受寻求三维斐波那契螺旋的驱动。由于我们未能找到关于三次斐波那契恒等式这一特定主题的任何综述，我们决定尝试填补这一空白。我们从综述众多斐波那契恒等式并记录其中的三次恒等式开始。显然，追踪所有斐波那契恒等式（以识别少数几个）是一项艰巨任务。在查阅数百个之后我们意识到，作者归属并非总是清晰。原因在于许多情况下某一恒等式在一篇文章中被陈述（有时无证明，例如作为开放问题或猜想），而后在另一篇文章中被证明，或被其他作者独立重新发现。但我们已尽力按时间顺序呈现这些恒等式。我们为其中一个恒等式提供了自己的证明，曾尝试寻找已发表证明但失败。对于所有其他恒等式，我们要么在计算机上证明，要么手工验证其已发表的原证明。有些出乎意料，我们的调查仅揭示了相当少量的三次斐波那契恒等式，占所有已发表斐波那契恒等式的极小部分（其中大多为线性或二次）。最后，其中只有少数三次斐波那契恒等式是齐次的。