单位 JB$^*$-代数酉元集之间的满射等距映射

本文在第一阶段致力于建立单位 JB$^*$-代数 $M$ 中酉元集 $\mathcal{U} (M)$ 的主连通分支 $\mathcal{U}^0 (M)$ 的拓扑—代数刻画。我们得出结论:与单位 C$^*$-代数的情形一样,$$\begin{aligned}\mathcal{U}^0(M) &= M^{-1}_{\textbf{1}}\cap\mathcal{U} (M) =\left\lbrace U_{e^{i h_n}}\cdots U_{e^{i h_1}}(\textbf{1}) \colon \begin{array}{c} n\in \mathbb{N}, \ h_j\in M_{sa} \forall\ 1\leq j \leq n \end{array} \right\rbrace \end{aligned}$$ 是解析弧连通的。我们的第二个目标是给出两个单位 JB$^*$-代数 $M$ 和 $N$ 的主连通分支之间满射等距映射的完整描述。与单位 C$^*$-代数的情形相反,我们将推得 $\mathcal{U} (M)$ 中存在作为度量空间不等距的连通分支。我们还将建立保证满射等距映射 $\Delta: \mathcal{U}(M)\to \mathcal{U} (N)$ 可扩张为 $M$ 与 $N$ 之间满射线性等距映射的充要条件,这一结论并非总成立。作为推论之一,证明了 $M$ 与 $N$ 是 Jordan $^*$-同构的,当且仅当它们的主连通分支作为度量空间是等距的,当且仅当存在满射等距映射 $\Delta: \mathcal{U}(M)\to \mathcal{U}(N)$ 将 $M$ 的单位映射到 $\mathcal{U}^0(N)$ 中的元素。这些结果将 O. Hatori 针对单位 C$^*$-代数所得结果推广到了单位 JB$^*$-代数的情形。