平方和与正交整向量

若 $\BZ^3$ 中的两个向量正交且长度相等，则称它们为\emph{孪生}向量。本文利用立方格描述了孪生向量对，并统计了给定长度下的孪生向量对数量。若整数 $M$ 满足每个长度为 $\sqrt{M}$ 的整向量都存在孪生向量，则称 $M$ 为孪生完备数。在数论中一个著名猜想的条件下，这类整数得到了完全刻画。本文的主要工具是 Hurwitz 整四元数的分解理论。全文致力于使阐述尽可能初等。