等变情形下的平方和与矩问题

我们开始系统研究等变框架下的正性与矩问题。给定一个作用于仿射 $\R$-簇 $V$ 上的约化群 $G$（在 $\R$ 上），我们考虑其对坐标环 $\R[V]$ 及其线性对偶空间诱导的对偶作用。在此设定下，给定 $V(\R)$ 的一个不变闭半代数子集 $K$，我们研究 $K$ 上不变非负多项式被不变平方和表示的问题，以及与之密切相关的 $\R[V]$ 上不变线性泛函被 $K$ 上不变测度表示的问题。为此，我们分析了 $\R[V]$ 的二次模与（有限生成的）不变多项式子环 $\R[V]^G$ 的关联二次模之间的关系。我们将结果应用于研究多维 $K$-矩问题的等变版本的有限可解性。我们的大部分结果都针对群 $G(\R)$ 是紧致的情形。