非高斯分量分析的 Sum-of-Squares 下界

非高斯分量分析 (NGCA) 是在高维数据集中寻找非高斯方向的统计任务。具体来说，给定来自分布 $P^A_{v}$ 的独立同分布样本，该分布在隐藏方向 $v$ 中的行为类似于已知分布 $A$，而在正交余向量中则类似于标准高斯分布，目标是近似隐藏方向。标准表述假设前 $k-1$ 矩与标准高斯相同，而第 $k$ 矩不同。在轻度假设下，该问题的样本复杂度为 $O(n)$。然而，所有已知的高效算法都需要 $\Omega(n^{k/2})$ 的样本。先前工作开发了尖锐的统计查询和低度测试下界，表明该问题存在信息-计算权衡。本文我们在 Sum-of-Squares (SoS) 框架下研究 NGCA 的复杂度。我们的主要贡献是为 NGCA 首次给出超常数阶 SoS 下界。具体而言，我们表明如果非高斯分布 $A$ 匹配 $\mathcal{N}(0, 1)$ 的前 $(k-1)$ 矩并满足其他轻度条件，则在来自正态分布的样本数少于 $n^{(1 - \varepsilon)k/2}$ 时，高概率下，度为 $(\log n)^{{1\over 2}-o_n(1)}$ 的 SoS 无法否定存在此类方向 $v$。我们的结果显著强化了先前工作，通过建立对更广泛算法族的超多项式信息-计算权衡。作为推论，我们获得了几个鲁棒统计问题和混合模型学习的 SoS 下界。我们的 SoS 下界证明引入了一种新技术，我们认为这可能具有更广泛的兴趣，以及对现有方法的若干细化。