高斯边缘分布下不可知学习半空间交集的近最优统计查询下界

我们考虑了在具有挑战性的不可知学习模型下，于高斯分布上学习半空间交集这一被广泛研究的问题。Diakonikolas 等人 (2021) 的最新工作表明，任何用于在 $\mathbb{R}^n$ 上以恒定超额误差不可知地学习 $k$ 个半空间交集类的统计查询 (SQ) 算法，要么必须进行容忍度至多为 $n^{-\tilde{\Omega}(\sqrt{\log k})}$ 的查询，要么必须进行 $2^{n^{\Omega(1)}}$ 次查询。我们通过将容忍度要求提高到 $n^{-\tilde{\Omega}(\log k)}$ 来强化这一结果。该下界本质上是最优的，因为 Klivans 等人 (2008) 的 SQ 算法使用 $n^{O(\log k)}$ 次容忍度为 $n^{-O(\log k)}$ 的查询，即可不可知地学习该类以达到任意恒定超额误差。我们证明了该下界的两个变体，每个变体都将 Diakonikolas 等人 (2021) 的方法与 Dachman-Soled 等人 (2014) 针对布尔设定的不可知 SQ 下界的另一种早期方法（及其扩展）相结合。我们的方法还给出了不可知地 SQ 学习“凸子空间军政府”（Vempala, 2010 年研究）类和具有有界高斯表面积集合类的下界；所有这些下界都近乎最优，因为它们本质上匹配了 Klivans 等人 (2008) 的已知上界。