合适的置换集、三元组填充与拉姆齐定理

$\{1,2,\ldots,v\}$ 的 $N$ 个置换的集合称为 $t$-合适的，如果每个符号在至少一个置换中先于其他 $t-1$ 个符号的每个子集。确定给定 $v$ 和 $t$ 下此类集合的最小大小 $N$ 的极值问题曾是 Dushnik（1950）和 Spencer（1971）经典研究的主题。Colbourn 最近引入了合适核的概念作为合适置换集的等价对象，并研究了确定给定 $t$ 和 $N$ 下存在合适核的最大 $v=\text{SCN}(t,N)$ 的对偶问题。Chan 和 Jedwab 证明当 $N=\lfloor\frac{t+1}{2}\rfloor\lceil\frac{t+1}{2}\rceil+l$ 时，若 $l$ 为固定整数，则 SCN$(t,N)$ 的值渐近为 $\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+2$。在本文中，我们利用拉姆齐理论改进该结果，证明当 $l=O(\ln t)$ 时结论同样成立。当 $v$ 大于 $\lfloor\frac{t}{2}\rfloor+2$ 时，我们从三元组填充给出合适核的新显式构造，并从扩展拉姆齐染色给出随机构造。