$(x-\alpha)^m$ 与 $(x-\beta)^n$ 的子结式、Jacobi 多项式与复杂度

在早前与 Carlos D'Andrea 合著的文章 [BDKSV2017] 中，我们描述了 $(x-\alpha)^m$ 与 $(x-\beta)^n$ 关于 Bernstein 多项式集 $\{(x-\alpha)^j(x-\beta)^{d-j}, \, 0\le j\le d\}$（$0\le d<\min\{m, n\}$）的 $d$ 阶多项式子结式系数的显式表达式。本文进一步研究这些结构化多项式，并表明 $(x-\alpha)^m$ 与 $(x-\beta)^n$ 关于单项基的子结式系数可在线性算术复杂度下计算，快于任意多项式的情形。该结果源于一个惊人却似乎未被注意的事实：经仿射变量替换后，这些子结式是 Jacobi 多项式的标量倍乘。