虚二次数域上 Hecke 特征标 L 函数的次凸界

设 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$ 为虚二次数域，$(p)=\mathfrak{p}\mathfrak{p}'$ 为一个分裂奇素数，$\psi$ 为模 $\mathfrak{p}$ 的 Hecke 特征标。令 $L(s,\psi)$ 为相应的 $L$-函数。我们证明了 $t$-方面的 Burgess 界以及 conductor 方面的混合界：\begin{equation*} L(1/2+it,\psi)\ll_{D,\varepsilon} (1+|t|)^{3/8+\varepsilon}p^{1/8} \end{equation*} 对 $p\ll t$ 成立。在附录 A 中，我们给出了带 CM 且 level 无平方因子的全纯尖形式 Voronoi 求和公式的初等证明思路。这是通过利用数域中理想的格结构实现的。此类尖形式的 Voronoi 求和由 Kowalski、Michel 和 Vanderkam（2002）给出。我们希望我们的证明方法能将他们的 Voronoi 公式推广到 $S_k(\Gamma_1(N))$ 中的任意 CM 尖形式及任意加性 twist。在此过程中我们遇到了二次和四次 Gauss 和。我们将在本文的下一版本中给出一般情形的计算。