$SU(p,q)$ 相干态与高斯 de Finetti 定理

我们证明了当局部空间为无限维 Fock 空间时量子 de Finetti 定理的一个推广。具体而言，我们考虑酉群 $U(n)$ 对 $n$ 个模式的产生算符的作用，并将对称子空间的自然推广定义为在 $U(n)$ 中酉变换下不变的状态空间，而非考虑置换群在该空间 $n$ 个副本上的作用。我们的首个结果是对该子空间的完整刻画，其恰好由与签名为 $(p,q)$ 的特殊酉群 $SU(p,q)$ 相关的一族广义相干态张成。更精确地，该构造给出了非紧单实李群 $SU(p,q)$ 的一个酉表示。因此我们找到了群对 $U(n)$ 和 $SU(p,q)$ 在 $n(p+q)$-模 Fock 空间上的对偶酉表示。这些（高斯）$SU(p,q)$ 相干态在对称子空间上分解恒等元，这意味着一个高斯 de Finetti 定理：对酉不变态的少数几个模式求偏迹会得到接近于高斯态混合物的状态。作为该 de Finetti 定理的应用，我们证明若 $n^3 =O(m)$，则 $n\times n$ Haar 不变酉矩阵的 $n\times n$ 左上子矩阵在总变距离上接近于由独立正态变量构成的矩阵。