具有重尾测量的结构化恢复：一种阈值化过程与最优速率

本文引入一种通用的正则化阈值化最小二乘过程，用于从如下观测中估计结构化信号 $\theta_*\in\mathbb{R}^d$：$y_i = f(\langle\mathbf{x}_i, \theta_*\rangle, \xi_i),~i\in\{1,2,\cdots,N\}$，其中 $\{(\mathbf{x}_i,y_i)\}_{i=1}^N$ 为独立同分布的重尾测量。我们提出一个分析该阈值化过程的通用框架，其归结为计算估计量边界球的三个临界半径。进而，我们证明这些临界半径在如下两种情形中可被紧界约束：（1）链接函数 $f(\cdot)$ 为线性，即 $y = \langle\mathbf{x},\theta_*\rangle + \xi$，其中 $\theta_*$ 为稀疏向量且 $\{\mathbf{x}_i\}_{i=1}^N$ 为具有有界 $(20+\epsilon)$-矩的一般重尾随机测量。（2）函数 $f(\cdot)$ 为任意未知（可能不连续）且 $\{\mathbf{x}_i\}_{i=1}^N$ 为具有有界 $(4+\epsilon)$-矩的重尾椭球随机向量。在这两种情形中，我们表明在这些相当最小的有界矩假设下，此类过程及相应分析可依据 $\theta_*$ 的结构性质以高概率得到最优样本与误差界。